CIRCUITOS RLC

INTRODUCCIÓN

Los circuitos eléctricos que contienen capacitores, inductancias y resistencias, su comportamiento se puede describir por medio de ecuaciones integrodiferenciales, las cuales se pueden reducir a solo ecuaciones

diferenciales. El orden de la ecuación diferencial generalmente es igual al número de capacitores más el número de inductores presentes en el circuito. Los circuitos que contienen un solo inductor y un solo capacitor junto con resistencias producen al menos un sistema de segundo orden o ecuación diferencial de segundo orden. En esta unidad procederemos a determinar la respuesta transitoria y de estado estable para los circuitos eléctricos que arrojan ecuaciones diferenciales de segundo orden, excitados con fuentes de valores constantes y variables.

La metodología aquí planteada, como es la solución de la ecuación diferencial que representa el funcionamiento del circuito eléctrico, se hace con base en los circuitos RLC conectados en serie y en paralelo, pero se puede extender a circuitos mixtos y a la combinación de varios elementos almacenadores de energía eléctrica.

MARCO TEÓRICO

Los receptores en corriente alterna (c.a.) se pueden comportar de 3 formas diferentes.

   Receptores Resistivos puros. Solo tienen resistencia pura. Se llaman receptores R.

   Receptores Inductivos puros. Solo tienen un componente inductivo puro (bobina). Se llaman L.

   Receptores Capacitivos puros. Solo tienen un componente capacitivo (condensadores). Se llaman C.

   En realidad no hay ningún receptor R, L o C puro, ya que por ejemplo un motor eléctrico tiene un bobinado con componente L, pero también esta bobina, por ser un cable, tiene una parte resistiva, por lo tanto será un receptor RL o incluso si tiene una parte capacitiva será receptor RLC.

   Para analizar estos receptores en circuitos, es mejor hacerlo de forma separada con su componente  R, L y C por separado. Así tenemos 3 tipos de circuitos, dependiendo el receptor.

   Circuitos R, solo resistencia.

   Circuitos L, solo bobina.

   Circuito C, solo condensador.

  Aunque como ya vimos los circuitos reales serian RL, RC o RLC.

   Vamos a estudiar como serían estos 3 circuitos por separado y luego veremos como serían los circuitos RL, RC y RLC.

 Consideraciones Previas

    Si no estas familiarizado con la c.a. y c.c lo mejor es que veas este enlace: Corriente Continua y Alterna, en el que verás la diferencia entre una y otra.

   Imaginando que ya conoces la c.a., lo primero que hay que tener en cuenta es que en c.a. las ondas de las tensiones y las intensidades son ondas senoidales y están desfasadas, es decir cuando empieza la onda de la tensión, la onda de la intensidad empieza más tarde (excepto en los resistivos).

 Si te fijas en la gráfica de arriba la onda de la tensión está adelantada 30º respecto a la onda de la intensidad. Esto es lo que hace a los circuitos en alterna diferentes a los de corriente continua (c.c.).

   Es por esto que las tensiones, intensidades, etc. deben de tratarse como vectores, en lugar de números enteros.

   Este ángulo de desfase se llama ρ (fi) y el cose ρ se conoce como factor de potencia (mas adelante lo veremos).

   Las potencias en alternar son 3 diferentes.

   Potencia Activa Pa = V x I cose ρ ; esta es la única que da trabajo útil, la realmente transformada. Se mide en Vatios (w). Es la tensión eficas por la intensidad eficaz por el coseno del ángulo que forman.

   Potencia Reactiva S = V x I seno ρ ; esta es como si fuera una potencia perdida, cuanto menor sea mejor. Se  mide en voltio amperios reactivos (VAR)

   Potencia Aparente Q = V x I ; se mide en voltio amperios (VA).

   En cuanto a las potencias en alterna no estudiaremos más ya que si quieres ampliar vete a este enlace: Potencia Eléctrica, donde se explican más detalladamente.

   En todos los circuito la tensión o intensidad en un punto determinado en el tiempo (tensión instantánea intensidad instantánea) es:

   v = Vo x cose ρ = Vo x cose wt

   i = Io x sen ρ = Vo x sen wt

   Siendo w la velocidad angular y Vo e Io la tensión máxima e Intensidad máxima (valores en la cresta de la onda); v e i valores instantáneas de la tensión y de la intensidad y t es el tiempo concreto en el que queremos medir el valor de la v o la i.

   w = 2∏f ( 2 por pi por frecuencia de la onda); w se mide en radianes/segundo (ra/se); 

   w es la velocidad de la onda, pero como es senoidal, es velocidad angular. También se puede llamar frecuencia angular.

   Recordamos también que es España y Europa la frecuencia de las ondas en c.a. es siempre de 50Hz (hertzios).

   Los valores eficaces de la tensión y de la intensidad son los más utilizados, y son los que se cogen como referencia normalmente,  son valores fijos que son una media de todos los valores que puede tener la onda. Por ejemplo la tensión en las viviendas se dice que es de 220V, pero ya sabemos que esta tensión al ser alterna será variable, pero los 220V sería la tensión eficaz. Es absurdo utilizar valores instantáneos en la vida real.

   Valor eficaz es el valor que debería tener en corriente continua para que produjera el mismo efecto sobre un receptor en corriente alterna.

   Exactamente el valor eficaz de la I = Io partido por la raiz cuadrada de 2

  La tensión eficaz es V = I/Z ; intensidad eficaz partido por la impedancia (luego hablaremos de ella)

  Comenzamos analizar los diferentes circuitos en corriente alterna.

   CIRCUITOS R

   Solo están compuesto con elementos resistivos puros. En este caso la V y la I (tensión e intensidad) están en fase, por lo que se tratan igual que en corriente continua. Esto en c.a. solo pasa en circuitos puramente resistivos.

En receptores resitivos puros la impedancia es R.

   La potencia será P = V x I. ( el cos 0º = 1), solo hay potencia activa y se llama igualmente P.

   CIRCUITOS L

   Son los circuitos que solo tienen componente inductivo (bobinas puras). En este caso la V y la I están desfasadas 90º positivos. En estos circuitos en lugar de R tenemos Xl, impedancia inductiva. L será la inductancia y se mide en henrios, al multiplicarla por w (frecuencia angular) nos dará la impedancia inductiva . La Xl es algo así como la resistencia de la parte inductiva.

El valor de la tensión en cualquier momento sería:

   v = Vo x sen wt  ; donde Vo es el valor inicial de la tensión, w frecuencia angular y t el tiempo.

   Igualmente la intensidad:

   i = Io x seno (wt - 90º) Recuerda que la I está retrasada 90º.

 Los valores eficaces son I = V/wL e I V/Xl siendo Xl = w x L.

   CIRCUITOS C 

   Este tipo de circuitos son los que solo tienen componentes capacitivos (condensadores puros). En este caso la V y la I están desfasadas 90º negativos (la V está retrasada en lugar de adelantada con respecto a la I).

 

 El valor de la tensión en cualquier momento sería:

   v = Vo x sen wt  ; donde Vo es el valor inicial de la tensión, w frecuencia angular y t el tiempo.

   Igualmente la intensidad:

   i = Io x seno (wt + 90º), recuerda que la I está adelantada 90º.

   Los valores eficaces son I = V/Xc e I V/Xc siendo Xc = 1/wC.

  Si quieres saber todo sobre los condensadores te recomendamos este enlace: Condensador.

   CIRCUITO RL EN SERIE

El circuito RL tiene un componente resistivo y otro inductivo (R y L). Aquí partimos de la impedancia que será un número complejo. El ángulo de desfase depende de la cantidad de componente inductivo que tenga.

   Z = R + Xlj , como Xl= w x L  (frecuencia angular por inductancia) podemos decir también Z = R + (w x L) j

   Este número complejo lo podemos representar con el llamado triángulo de impedancia:

 En la imagen X sería Xl, si tuviéramos Xc (parte capacitiva), X sería (Xl-Xc). Según este triángulo podemos convertir el número complejo en número natural de la siguiente fórmula (por Pitágoras):

   Z2 = R2 + Xl2    Podríamos despejar Z para calcularla.

   La intensidad sería I = V / Z, que en instantánea quedaría:

   i = (Vo x seno wt) / (R + wLj) en complejo. Podemos convertirlo en eficaz sustituyendo la Z por la raíz cuadrada de (R + wL).

   Los valores eficaces seríán V = I /Z o I = V/Z.

   CIRCUITO RC

   Este es igual solo que ahora tenemos Xc en lugar de Xl. Además  Xc = 1/(wCj) y por lo tanto Z = R + 1/(wCj) en numero complejo. Pero si hacemos el triangulo de impedancias en este caso la Z en número natural sería:

   Z2 = R2 + (1/(wC))2

   Ves que es igual pero sustituyendo Xl por Xc que es 1/wC, en lugar de Xl que es wL.

   Ahora vamos analizar los circuito RLC que son los más interesantes:

   CIRCUITOS RLC

   Son los circuitos más reales. Fíjate que si te acostumbras hacer todo con los triángulos de impedancias, de tensiones y de potencias es mucho más fácil.

RESONANCIA EN CIRCUITOS RLC

Resonancia en un circuito RLC paralelo

Cuando se conecta un circuito RLC paralelo (resistencia, bobina y condensador en paralelo), alimentado por una señal alterna (fuente de tensión de corriente alterna), hay un efecto de ésta en cada uno de los componentes.

En el condensador o capacitor aparecerá una reactancia capacitiva, y en la bobina o inductor una reactancia inductiva, dadas por las siguientes fórmulas:

– XL = 2 x π x f x L

– XC = 1 / (2 x π x f x C)

Donde:

– π = Pi = 3.14159

– f = frecuencia en Hertz

– L = Valor de la bobina en henrios

– C = Valor del condensador en faradios

Como se puede ver los valores de estas reactancias depende de la frecuencia de la fuente. A mayor frecuencia XL es mayor, pero XC es menor y viceversa. Hay una frecuencia para la cual el valor de la XC y XL son iguales. Esta frecuencia se llama: frecuencia de resonancia y se obtiene de la siguiente fórmula: FR = 1 / (2 x π x (L x C)^1/2)

En resonancia como los valores de XC y XL son iguales, se cancelan y en un circuito RLC en paralelo la impedancia que ve la fuente es el valor de la resistencia.

A frecuencias menores a la de resonancia, el valor de la reactancia capacitiva es alta y la inductiva es baja.

A frecuencias superiores a la de resonancia, el valor de la reactancia inductiva es alta y la capacitiva baja.

Como todos los elementos de una conexión en paralelo tienen el mismo voltaje, se puede encontrar la corriente en cada elemento con ayuda de la Ley de Ohm. Así: IR = V/R, IL = V/XL, IC = V/XC.  La corriente en la resistencia está en fase con la tensión, la corriente en la bobina está atrasada 90° con respecto al voltaje y la corriente en el condensador está adelantada en 90°.

Nota: Es importante visualizar que los efectos de la reactancia capacitiva y la inductiva son opuestos, es por eso que se cancelan y causan la oscilación (resonancia)

Los circuitos resonantes son utilizados para seleccionar bandas de frecuencias y para rechazar otras. Cuando se está en la frecuencia de resonancia la corriente por el circuito es máxima. En la figura: A una corriente menor (70.7% de la máxima), la frecuencia F1 se llama frecuencia baja de corte o frecuencia baja de potencia media. La frecuencia alta de corte o alta de potencia media es F2. El ancho de banda de este circuito está entre estas dos frecuencias y se obtiene con la siguiente fórmula: Ancho Banda = BW = F2 – F1

El factor de calidad (Q) o factor Q en un circuito RLC paralelo es: Q = R/XC ó Q = R/XL

También relacionándolo con el Ancho Banda: Q = frecuencia de resonancia / Ancho de banda = FR/BW. Ejemplos:

Si F1 = 50 Khz, F2 = 80 Khz, FR = 65 Khz, el factor de calidad es: Q = FR/BW = 65/(80-50) = 2.17

Si F1 = 60 Khz, F2 = 70 Khz, FR = 65 Khz, el factor de calidad es: Q = FR/BW = 65/(70-60) = 6.5

Se puede observar que el factor de calidad es mejor a menor ancho de banda. (el circuito es mas selectivo)

Resonancia en un circuito RLC serie

Cuando se conecta un circuito RLC en serie, alimentado por una señal alterna (fuente de tensión de corriente alterna), hay un efecto de ésta en cada uno de los componentes.

En el condensador aparecerá una reactancia capacitiva, y en la bobina una reactancia inductiva, dadas por las siguientes fórmulas:  XL = 2 x π x f x L   y   XC = 1 / (2 x π x f x C),  donde:

π = 3.14159

f = frecuencia en Hertz

L = Valor de la bobina en henrios

C = Valor del condensador en faradios

Como se puede ver los valores de estas reactancias depende de la frecuencia de la fuente. A mayor frecuencia, XL es mayor, pero XC es menor y viceversa. Hay una frecuencia para la cual el valor de la XC y XL son iguales. Esta frecuencia se llama frecuencia de resonancia y se obtiene de la siguiente fórmula: FR = 1 / (2 x π x (L x C)^1/2)

En resonancia como los valores de XC y XL son iguales, se cancelan y en un circuito RLC en serie la impedancia que ve la fuente es el valor de la resistencia. A frecuencias menores a la de resonancia, el valor de la reactancia capacitiva es grande y la impedancia es capacitiva. A frecuencias superiores a la de resonancia, el valor de la reactancia inductiva crece y la impedancia es inductiva.

Nota: es importante visualizar que los efectos de la reactancia capacitiva y la inductiva son opuestos, es por eso que se cancelan y causan la oscilación (resonancia).

El Ancho de banda (BW) y el Factor de calidad (Q)

Los circuitos resonantes son utilizados para seleccionar bandas de frecuencias y para rechazar otras. Cuando se está en la frecuencia de resonancia la corriente por el circuito es máxima.

En la figura: A una corriente menor (70.7% de la máxima), la frecuencia F1 se llama frecuencia baja de corte o frecuencia baja de potencia media. La frecuencia alta de corte o alta de potencia media es F2.

El ancho de banda de este circuito está entre estas dos frecuencias y se obtiene con la siguiente fórmula:

Ancho Banda = BW = F2 – F1

El factor de calidad (Q) o factor Q es: Q = XL/R o XC/R

También la relacionándolo con el Ancho Banda:  Resonancia en un circuito RLC serie. Q = frecuencia resonancia / Ancho banda = FR/BW

Ejemplos:

Si F1 = 50 Khz y F2 = 80 Khz, FR = 65 Khz, el factor de calidad es: Q = FR / BW = 65 / (80-50) = 2.17

Si F1 = 60 Khz y F2 = 70 Khz, FR = 65 Khz, el factor de calidad es: Q = FR / BW = 65 / (70-60) = 6.5

Se puede observar que el factor de calidad es mejor a menor ancho de banda. (el circuito es más selectivo)